La princesa, el rey y el caballero que quería encontrarla–Adrian Paenza.

Por Adrián Paenza

El que sigue es un problema espectacular. Hay muchas versiones circulando desde hace muchísimos años pero elijo la que me sugirió Juan Pablo Pinasco (quien fue el primero que me advirtió de su existencia). Lo voy a escribir como si fuera un cuento. En un pueblo del medioevo, había un rey que quería casar a su hija, pero quería que quien se casara con ella tuviera algún tipo de destreza lógica. Había remodelado un ala del castillo en donde vivían y había preparado un largo pasillo (como si fuera un hotel) con 17 puertas. Estas puertas permitían el acceso a 17 habitaciones, pero lo curioso es que estaban todas del mismo lado: el derecho. En la puerta de cada una de estas habitaciones había una placa con un número que la identificaba, del uno al diecisiete.

Cada habitación tenía tres puertas. Una, la que comunicaba al pasillo (al exterior) y otras dos que comunicaban con las piezas vecinas. Por ejemplo, la número siete, tenía una puerta que la comunicaba con la seis y otra con la número ocho. Por supuesto, la primera y última habitación, solamente tenían dos puertas: la que las comunicaba con el pasillo y la que permitía acceder a la “única” adyacente.

Ahora llega el momento del planteo. El rey le pide a la princesa que se mude a esa parte del castillo en donde están las 17 habitaciones. Las preparó como para que ella nunca tuviera que salir de allí: lucen espléndidas y tienen todo lo que él cree que a ella le hará falta para cubrir todas sus necesidades. Le pide que ingrese a la habitación número uno y que siga las siguientes reglas: durante un año ella tiene que cambiar de pieza todos los días. No se puede quedar en la que está. Pero algo más: no puede ir a cualquiera sino a alguna de las dos vecinas (salvo cuando esté en la 1 o la 17 ya que en ese caso solamente podrá ir a la 2 o a la 16).

En el momento en el que se cumple exactamente un año desde que la princesa ingresó a la habitación número uno, ella tuvo que haber hecho exactamente 365 cambios de habitación. Ese mismo día, lleva al pretendiente hasta una punta del pasillo y le cuenta lo que le pidió que hiciera su hija. Le muestra las 17 habitaciones numeradas y le dice que si se quiere casar con ella tendrá que encontrar en qué habitación está. Así dicho, parece fácil: bastará con que el candidato abra puerta por puerta hasta descubrirla. Pero no; el rey tiene otras ideas. Le explica: usted elija el número de habitación que quiera. Si entra y la encuentra, listo: yo le concedo su mano. Demostrará que es una persona con mucha suerte. Sin embargo, si no está allí, puede repetir el proceso al día siguiente eligiendo la habitación que quiera. Sin embargo, el rey agrega: “me doy cuenta que si yo le permitiera hacer esto indefinidamente, usted terminaría encontrándola, pero no es así. Usted tiene 15 días consecutivos empezando hoy para encontrarla. Mi hija va a seguir moviéndose con estas reglas. Trate usted de diseñar una estrategia que le permita descubrirla en ese plazo.”

Ahora le toca a usted.... sí, a usted. ¿Se puede o no se puede?

Respuesta

Como hago habitualmente, le sugeriría que no empiece leyendo lo que yo voy a escribir en las próximas líneas. Es decir, si quiere hágalo, pero no se robe a usted misma/o la oportunidad de descubrir dónde está la dificultad. Dedíquele un rato, permítase disfrutar de pensar qué hacer aunque no se le ocurra nada conducente al principio. Sigo. ¿Qué podría hacer el pretendiente? En algún lugar va a tener que empezar, pero, ¿dará lo mismo abrir cualquier puerta? Por supuesto, puede confiar en su suerte y elegir una puerta cualquiera, abrirla y “vivir con los resultados”. Pero, ¿será racional hacerlo de esta forma? Digo, porque si la encuentra, todo bien, pero ¿y si no? ¿Cómo sigue? ¿Para qué lado arranca?

Por ejemplo: ¿tendrá sentido que empiece en la habitación número uno? En realidad, a simple vista pareciera como que no hay ninguna diferencia empiece en el lugar que empiece, porque la princesa tuvo tanto tiempo para ir y venir en 365 días que podría estar en cualquier habitación. Sin embargo, esto último no es tan cierto. ¿Por qué? Fíjese que si ella empezó en la habitación número uno, al día siguiente, el día que hizo el primer cambio, tuvo que haber terminado en la habitación número dos (que es un número par). Al segundo día, cuando hace el segundo cambio, podrá volver a la número uno o entrar en la número tres. ¿Le sugiere algo este dato?

Me permito observarle que los números uno y tres son números impares. Cuando haga el tercer cambio, como estaba en las habitaciones uno o tres, tendrá que pasar o a la dos o a la cuatro. No sabemos cuál, pero lo que sí sabemos, es que es una habitación que tiene un número par. Si me siguió hasta acá, le sugiero que haga lo siguiente: siéntese con un papel y una lapicera y fíjese si puede encontrar algún tipo de patrón. ¿Qué quiero decir con esto? Es que cada vez que pasa un número impar de días desde que la princesa empezó el proceso, ella está en una habitación par. Y al revés: cuando pasa un número par de días, está en una habitación con un número impar en la puerta.

Tendría que haber alguna forma de usar estos datos. Si pudiera, le haría nuevamente la pregunta que formulé más arriba: ¿tendrá sentido que el pretendiente empiece abriendo la puerta número uno? O más aún: ¿tendrá sentido que empiece en alguna habitación que tenga un número impar en la puerta que da al pasillo? La respuesta es que no, porque seguro que no la va a encontrar. Como la princesa realizó 365 cambios, cuando el caballero va a ingresar en una habitación, él ya sabe que ella ¡tiene que estar en una habitación con un número par! Si él entrara en la habitación con el número uno, terminaría desperdiciando una de las pocas alternativas que tiene para encontrarla directamente. Moraleja: cuando empiece, decididamente le conviene elegir una habitación cualquiera que tenga un número par.

El pretendiente puede empezar entonces abriendo la puerta número dos. Por supuesto, si la princesa está allí, listo; se termina la historia. Pero si no está, entonces se deduce que ni está en la uno ni en la dos (en la uno no podía estar porque ese día tenía que estar en una habitación par). Al día siguiente (o sea, al segundo día de haber empezado), el caballero sabe que la princesa ahora tiene que estar en una habitación impar. Decide entonces abrir la puerta número tres. Como antes, si la princesa está allí, se termina todo, pero si no está, entonces el pretendiente sabe que no solo no está en la habitación tres, sino que no está ni en la dos ni en la uno. ¿Por qué? En la dos no puede estar porque hoy le tocaba estar en número impar, pero en la uno no puede estar tampoco, porque si no, el día anterior (cuando él empezó el recorrido), ella tenía que haber estado en la número dos... pero no estaba. Moraleja: luego del segundo día (de los 15 que puede usar), el caballero sabe que la princesa no está ni en la uno, ni en la dos ni tampoco en la tres.

Pero quiero hacer una observación más. De acuerdo a lo que venimos haciendo en los últimos párrafos, ya sabemos que la princesa, en ese segundo día debe estar en una habitación impar. Pero ahora, sabemos además, que mientras el caballero está en la habitación tres, ella no está ni en la uno ni en la tres, y por lo tanto le quedan estas posibilidades: 5, 7, 9, 11, 13, 15 o 17. Esta idea me parece importante, porque como supongo que usted empieza a intuir este proceso empieza a empujar a la princesa hacia las habitaciones con números cada vez más grandes. Sigo.

Al día siguiente (al tercer día) ahora la princesa tiene que estar en una habitación par, pero el caballero sabe que no puede ser la dos (porque si no, tendría que haber estado en la uno o en la tres el día anterior, y no estaba). Luego, abre la puerta 4. Una vez más: si la encuentra, se termina el problema. Pero si no la encuentra, entonces la princesa (después del tercer día), puede estar solamente en las habitaciones 6, 8, 10, 12, 14 y 16. Es decir, es como si el pretendiente no solo va descartando habitaciones, sino que además está casi “arrinconando” a la princesa hacia las habitaciones del fondo.

La estrategia para los 15 días es la siguiente (en donde escribo el número de habitación que el caballero tiene que ir abriendo):

2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15 - 16

Si usted cuenta, descubrirá que son exactamente quince habitaciones que abre en 15 días consecutivos. ¿Por qué la encuentra seguro?

Primer día: el caballero abre la puerta 2. Ella está en una habitación par. Si la encuentra, listo. Si no, la princesa tiene que estar en la 4, 6, 8, 10, 12, 14 o 16 (no puede estar ni en la uno ni en ninguna otra impar).

Segundo día: ella está en una habitación impar, pero no puede ser la uno porque el día anterior no estaba en la dos. El caballero abre la puerta tres. Si la encuentra, termina todo. Si no, ella tiene que estar o bien en la 5, 7, 9, 11, 13, 15 o 17. Fíjese que la princesa no puede estar en ninguna habitación que lleve un número MENOR que tres.

Tercer día: ella está en una habitación par, pero no puede ser la dos porque el día anterior no estaba ni en la uno ni en la tres. El caballero abre la cuatro. Como antes, si la encuentra, listo. Si no, está en la 6, 8, 10, 12, 14 o 16. Como antes, ahora que el caballero está en la cuatro, se deduce además que la princesa no está en ninguna habitación que tenga un número MENOR que cuatro.

Cuarto día: ella está en una habitación impar. El abre la puerta cinco. Si la encuentra, todo termina allí. Si no, está en la 7, 9, 11, 13, 15 o 17 (y no puede estar en las anteriores por las mismas razones que expuse antes).

Y continuamos hasta el día 15. La princesa está en una habitación par, pero no puede ser ninguna de las anteriores porque siempre estuvo en un número mayor en dos al que él abrió, y entonces, solamente puede estar en la habitación 16... que es ¡justo la habitación a la que entra el caballero! Esta estrategia permite encontrar a la princesa inexorablemente no importa dónde hubiera estado al principio: el caballero la encuentra en el proceso o, en el peor de los casos, en el día 15 la encuentra en la habitación 16.

Conclusión

Como se advierte, la estrategia está basada en hacer un uso adecuado de la paridad de todos los números involucrados:

- La paridad del número de la habitación en donde puede estar la princesa en cada paso del proceso,

- La paridad del número de días que pasaron desde que la princesa empezó a circular por el castillo

- La paridad del número de días desde que el caballero empezó a buscarla.

Juntando todos estos datos y como era esperable en un cuento de princesas, reyes y caballeros, hay un final feliz.

Fuente: Pagina 12

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